算符在量子力学中的意义

刚刚回答过一个类似的问题。

说算符之前说点背景：

简单的讲，对于量子力学，我们关心的物质世界，为了方便量化，可以简单的称之为“系统”。 也就是说需要了解和改变的对象，是系统。
那么如何描述一个系统呢，在这里，就引入了“态”的概念。 系统的态，从字面上，就是系统所处的状态。 严格上说，“态”就是包含了对于一个系统，我们所有“有可能”了解的信息的总和。 在这个抽象定义的基础上，为了描绘“态”，引入了“态函数”，用一个函数来代表一个态，到这里就可以将问题数学化和具体化了。
对于系统的这个态，也就是对于物质的状态，我们可以做那些呢？ 无非就是了解（也就是测量），和干涉（也就是改变）。 量子力学里面，了解的过程和干涉的过程其实是同步而不能分割的，这也从某种意义上提供了方便---为了描绘我们如何对系统的态进行了解，或进行改变，我们只需引入一种数学形式就可以了。
这种数学形式，就被称作“算符”。 也就是说算符是测量/改变的数学形式。 那么这种数学形式就一定是作用在同样是数学形式的态函数上。
对于不同的系统，和不同的系统所可能具备的不同状态，我们就引入不同的态函数来描绘。 同理，对于不同类型的改变，干涉，测量，我们就引入不同类型的算符。
所以，当一个操作（测量，改变）被施加在一个系统上，数学上一个算符就作用在了一个态函数上。 毫无疑问，我们希望从这种操作中了解我们究竟如何改变了系统，或者我们希望从测量里得到希望的系统参数。 这时，我们可以观察数学化以后的算符作用在态函数上得到了什么-----得到的是一个新的态函数-----这个新的态函数自然也就代表了我们改变之后的那个系统。
特别的，对于所有“测量”类操作， 我们能够得到来自系统的反馈。 这种反馈也就是测量的结果。 并非所有操作都能得到可以观测的结果，而这类能得到可观结果的操作--也就是测量，其代表的算符也必然具备某种共性，这种共性被成为厄米性，这类算符被称为厄米算符。 这类算符作用在态函数上，可以得到态函数本征函数的本征值--------本征值也就是测量的结果。 举例来说，动量算符作用于态函数，就得到系统的动量。
再谈一点关于具体的数学化过程----------在薛定谔表示下（一种数学化的方法