为什么这个关于2的次方的等式成立？

2^1+2^2+。。。＋2^k看成等比数列求和，首项a1=2，公比q为2。

前N项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-2^k)/(1-2)=2^(k+1)-2

这是一个等比数列，等比数列的性质就是后一项和前一项的比是一个常数，叫做公比q.等比数列的求和公式为：前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
对于2^1+2^2+。。。＋2^k就是一个等比数列，他的q=2,首项a1=2.
所以，2^1+2^2+。。。＋2^k就是他的前K项和，既：
Sk=2(1-2^k)/(1-2)=2^(k+1)-2 。 即得所证。

abei的回答完全正确，无以补充啦！

将此式填一项2^0
用去尾法得
2^0+2^1+2^2+。。。＋2^k=2^(k+1)-1
因为2^0=1
所以2^1+2^2+。。。＋2^k=2^(k+1)-2
就这么简单！！！

解：设X＝2^1+2^2+。。。＋2^k
两边同时乘以2，得：
2X＝2^2+。。。＋2^k＋2^(k+1)
所以：X＝2X－X＝[2^2+。。。＋2^k＋2^(k+1)]－[2^1+2^2+。。。＋2^k]＝2^(k+1)-2
即：2^1+2^2+。。。＋2^k=2^(k+1)-2 （都等于X）