椭圆焦点三角形面积公式推导

对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式)
=b^2*sinθ/(1+cosθ)
=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)

设P为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的焦点,∠F1PF2=θ
由|PF1|+|PF2|=2a
由余弦定理
|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|*COSθ=|F1F2|^2
整理
(|PF1|+|PF2|)^2-2|PF1PF2|*(1+COSθ)=|F1F2|^2
∴|PF1|*|PF2|=[4a^2-4c^2)/2(1+COSθ)]
=2b^2/((1+COSθ)
S△=1/2|PF1|*|PF2|*sinθ
=b^2*[sinθ/(1+COSθ)]
=b^2*[(2sin(θ/2)cos(θ/2)]/(2cos^2(θ/2)
=b^2tan^2(θ/2)