论述牛顿与莱布尼兹分别对微积分的产生所起的作用

牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。
　　1695年，荷兰物理学家纽汶蒂（B。Nieuwentyt）在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等。最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱（G。Berkeley，1685—1753）在1734年担任克罗因（在今爱尔兰境内）主教，同年发表小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》（The Analyst，a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician），副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷（E。Haley）。伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂 的流数，牛顿假设 有一个增量 ，并以它去除 的增量得 ，然后又让 “消失”，得到 的流数 ，伯克莱指出这里关于增量 的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。他讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼兹的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得。
　　伯克莱对微积分学说的攻击主要是出于宗教的动机，目的是要证明流数原理并不比基督教义“构思更清楚”、“推理更明白”。但他的许多批评是切中要害的，在客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力。为了回答伯克莱的攻击，在英国本土产生了许多为牛顿流数论辩护的著述，其中以麦克劳林《流数论》最为典型，但所有这些辩护都因坚持几何论证而显得软弱无力。欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。在18世纪，这方面的代表人物是达郎贝尔、欧拉和拉格朗日。
　　拉格朗日在《解析函数论》（Theorie des functions analytiques，1797）一书中，主张用泰勒级数来定义导数：函数 的导数 被定义为展开式

　　中 的系数，以此作为整个微分、积分演算的出发