一个语法问题，请赐教。

依次回答你：

1，했后面为什么是는而不是은，
以及，은是过去式的冠词型，为什么不加它而加는。

楼主肯定是想到了动词定语形的变化（即你说的冠词型），但是这里并不是。
这里并不是定语形式的变形，
而是“는지”根本是一个语法。

~는지
疑问连接词尾，
当谓词为形容词时，用“~ㄴ/은지”，
当谓词为动词时为“는지”
过去式用“었/았/였는지”,
将来式用“겠는지”，

有音问词，比如누구 언제 어디时，就直接这么结尾就可以，
如果是说知不知道什么事情，就在后面加알다/모르다，
这是个固定搭配。

那么，这个句子为什么这么用，就很明显了。

2，你那么写对不对。
지是는지语法的一个结构而已，本身并不是一个名词。
而“한”这样的定语形，只适用于名词之前，
所以不对。

回答完毕。

3，另外，
楼上说的나/너与后面的요语气不一致。本来是对的，理由也完全正确。
但在现在的现实生活中，已经可以这么用了。

因为요只是礼貌的语气，
如果真的要表达敬语，会在句子上加上专门的敬语词，
如，
아시죠? (아시지요