不定方程竞赛题

1、(1,2,3) ，(2,-2,4)
解：x+z/(1+yz)=10/7
因为z和1+yz互质，所以z/(1+yz)为最简分数，1+yz=7或-7
即有
yz=6
7x+z=10
或
yz=-8
7x-z=10
注意到x、y、z都是整数，容易得出两组解
(1,2,3)和(2,-2,4)

2、x=2
首先13/12=1/2+1/3+1/4,所以x=2是一个解
下面说明方程无其他解
因为x≠-2,-1,0,所以只要考虑x<-2和x>0的情况
显然x<-2时，方程左边<0，右边=13/12,所以方程不可能有解
x>0时，f(x)=1/x+1/(x+1)+1/(x+2)为减函数，所以f(x)=13/12至多有一个解
所以，x=2是唯一解

3、方程即1/x+1/y=1/2+1/z
因为x,y,z都是大于等于3的整数，所以1/x+1/y>1/2
1/x>1/2-1/y>=1/2-1/3=1/6,故x<6
由对称性y<6
所以只用考虑(x,y)的组合为(3,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,5)时z是否有解，经检验方程的解为(3,3,6),(3,4,12),(3,5,30)
考虑x和y的对称性，方程所有解为(3,3,6),(3,4,12),(4,3,12),(3,5,30)，(5,3,30)

拿分来！！！！！！