求显示管的寿命的分布函数，大虾请进

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 04:09:07
使用了t小时的显像管,在今后的t1小时内毁坏的概率为nt1+o(t1)(n>0 与t无关),以T表示这种显像管的寿命 ，假定T为连续型随机变量 ，试求T的分布函数F(t)其中，o(t1)代表t1的等价无穷小 ，好像是这个意思 ，高数书上有 ,各位大侠帮帮忙， 谢了， 答案是F(t)服从参数为n的指数分布

设 F(x) = P(x<=t)代表使用时间不超过t的概率。
由已知，
P(x<=t + t1 | x>=t) = n*t1 + o(t1) (o(t1)代表t1的高阶无穷小)
而：

P(x<=t + t1 | x>=t) = P(x>=t, x<=t + t1)/P(x>=t) = n*t1 + o(t1)
即：
(F(t + t1) - F(t))/(1 - F(t)) = n*t1 + o(t1),

两边乘以(1 - F(t)),再除以t1, 有：

(F(t + t1) - F(t))/t1 = (1 - F(t)) * n + (1 - F(t))*o(t1)/t1

令t1趋近于0，对上式两边取极限，又结合o(t1)是t1的高阶无穷小，所以有：

dF(t)/dt = (1 - F(t))* n ,并且有边界条件F(0)=0, 以及注意到F(t) - 1<=0

解这个微分方程，有：F(t) = 1 - e^(-nt)
这正是负指数分布

好