一致连续

首先根据一致连续的定义，知道不一致连续的定义：
设函数f(x)在区间I有定义，若对任意δ>0，存在ε>0,使得对任意x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|>ε，则称f(x)在区间I上一致连续。

对应到这道题来说，就是找两个点列xn'和xn''，在n->∞时，满足|xn'-xn''|<δ（δ任意小），有|f(xn')-f(xn'')|>ε(ε是某一常数)。

剩下的就是构造点列了。

令xn'=2nπ，xn''=2nπ+1/n，
此时|xn'-xn''|=1/n->0 （n->∞）
而|f(xn')-f(xn'')|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5 (n->∞)
(中间过程略一下，都是演算，不过中间还是要用洛必达法则求一下极限)
取n>5ε/8π,则|f(xn')-f(xn'')|>ε

补充：“Sn-Tn|<1/n”
这个其实不一定这么死，关键是找出合适的δ，只要δ可以任意小即可，这时|f(xn')-f(xn'')|=(8nπ^3)/(1+4π^2)>8nπ/5>π,若令ε=π，这就找出了ε。

f(x)=x/(1+(xsinx)^2)
取Sn=n∏，Tn= n∏+1/2n，|Sn-Tn|=1/2n<1/n
f(Sn)=n∏
f(Tn)=( n∏+1/2n)/{1+((n∏+1/2n)sin[1/2n])^2}
Lim(n→∞)f(Sn)=∞
Lim(n→∞)f(Tn)
= Lim(n→∞) (n∏+1/2n)/{1+((n∏+1/2n)*(1/2n))^2}
= Lim(n→∞) n∏/(1+(∏^2/4))
Lim(n→∞)|f(Sn)-f(Tn)|= Lim(n→∞)n∏^3