高一数学数列与对数函数综合题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/18 17:37:11
f(x)=log2(x)(2是下标)-logx(2)(x是下标) (0＜x＜1)
数列{an}(n是下标)满足f(2＾an)(n是a的下标)=2n
(n=1,2,3,4,5....)
1.求通项.
2.判定{an}(n是下标)单调性.

1.
由f(x)=log2(x)-logx(2)=log2(x)-1/log2(x)
f(2^a(n))=log2(2^a(n))-1/log2(2^a(n))=2n
即
a(n)-1/a(n)=2n,且0＜2^a(n)＜1

解得a(n)=n±√(n^2+1),且a(n)＜0
得a(n)=n-√(n^2+1)
2.
a(n)=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)]
令a(x)=-1/[x+√(x^2+1)]
根据复合函数的单调性判断，a(x)在[0,+∞)是增函数
所以a(n)=n-√(n^2+1)是单调递增的数列。

1.f(2^An)=An-1/An
An=n+(n^2+1)^1/2
2.很明显是增函数