高中数学题 关于函数的

f(x)=[10^x-10^(-x)]\[10^x+10^(-x)]
令10^x=t t>0
f(x)=[t-1/t]/[t+1/t]
=[t^2-1]/[t^2+1]
=[t^2+1-2]/[t^2+1]
=1-2/(t^2+1)
t随x单调递增
f(x)随t单调递增
所以f(x)随x单调递增

对函数f(x)求导，得到斜率恒大于0就可以了。（其中x不能为0）

上下乘10^x
f(x)=[10^(2x)-1]/[10^(2x)+1]
=[10^(2x)+1-2]/[10^(2x)+1]
=[10^(2x)+1]/[10^(2x)+1]-2/[10^(2x)+1]
=1-2/[10^(2x)+1]

定义域
因为10^x>0,10^(-x)>0
所以分母不等于0
所以定义域是R

令a<b
则f(a)-f(b)=1-2/[10^(2a)+1]-1+2/[10^(2b)+1]
=2{[10^(2a)+1]-[10^(2b)+1]}/[10^(2b)+1][10^(2b)+1]
分母显然大于0
分子=[10^(2a)+1]-[10^(2b)+1]=10^(2a)-10^(2b)
因为b>a,所以10^(2b)>10^(2a)
所以分子小于0
所以f(a)<f(b)
所以是增函数

使用定义：
设x1<x2，则
f(x1)-f(x2)
=10^x1-10^(-x1)\10^x1+10^-x1 -10^x2-10^(-x2)\10^x2+10^-x2
= 10^(x1-x2)-10^(x2-x1)/(10^x1+10^-x1)(10^x2+10^-x2)
显然分母(10^x1+10^-x1)(10^x2+10^-x2)>0
分子10^(x1-x2)-10^(x2-x1)，
x1<x2，则10^(x1-x2)<1,1