能不能购买这样的学生票

可以。
按照铁道部和教育部联合下发的有关学生票的通知，学生票可以分段购买、分段乘坐。具体办法是：在起始站凭学生证购买到中间站的学生票，在中间站凭学生证及使用过的上一段的学生票购买学生票继续旅行。

具体到楼主，可以在北京凭学生证购买北京-淮安的学生票，到淮安后，凭学生证和使用过的北京-淮安的学生票，购买淮安-南通的学生票。
如果楼主没有继续淮安-南通的旅行，而是由淮安直接回北京，就不能享受淮安-北京的学生票待遇了。

可以

可以的 火车票上写的4日内有效 就是你在中途下车 四天之内再坐车 那张票还是有效

按照铁道部和教育部联合下发的有关学生票的通知，学生票可以分段购买、分段乘坐。具体办法是：在起始站凭学生证购买到中间站的学生票，在中间站凭学生证及使用过的上一段的学生票购买学生票继续旅行。
但是从北京到你家的票如果有直达的可能就不能买了！具体的你去火车站问问吧

绝对不可以。
能分段是指联程票或一段买动车组，其他不行。