我该挂医院哪个科室的号？

可能是剥脱性角质松解症.可以补充维生素A类制剂.同时加强局部保护.外用尿素类制剂.还可能是接触性皮炎,避免接触碱性洗涤剂.具体到医院皮肤科就诊.

建议吃冬令滋补膏
可能是血虚不能濡养末节
冬主收藏，不足不能濡养，所以冬天状况更差
不知道现在还有开没，因为比较方便服用。
没有话建议吃中药，最好是明年秋天就要开始服用。冬天就可以改善症状

挂皮肤科
我觉得你的指甲大概有一些皮癣之类的病，如果查出没有病毒感染的话，也有可能是甲营养不良，补充钙质和维生素，少接触化学制剂，洗衣服的时候带胶皮手套
冬天皮肤容易干燥用点凡士林护手霜

挂内科试试。

皮肤科或者手足外科