可能会用到泰勒公式的一道题

由Taylor公式
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!+x^4的高阶无穷小
要使f(x)=cosx-(1+ax^2)/(1+bx2)为尽可能高阶的无穷小
必须抵消尽可能多的低次项

1-x^2/2!+x^4/4!=1-x^2/2+x^4/24=(24-12x^2+x^4)/24
显然(1+ax2)/(1+bx2)不能抵消此三项和

1-x^2/2!=(2-x^2)/2=(1-1/2x^2)/1
a=-1/2 b=0时f(x)=x^4/4!+x^4的高阶无穷小是x的4阶无穷小

将cosx在零点展开为泰勒级数：
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……
将1/(1+bx^2)在零点展开为泰勒级数：
1/(1+bx^2)=1-bx^2-b^2x^4-b^3x^6-b^4x^8-……
(1+ax^2)/(1+bx^2)
=(1+ax^2)(1-bx^2-b^2x^4-b^3x^6-b^4x^8-……)
=1+(a-b)x^2-b(a+b)x^4-b^2(a+b)x^6-……
则f(x)=cosx-(1+ax^2)/(1+bx^2)
=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……)-[1+(a-b)x^2-b(a+b)x^4-b^2(a+b)x^6-……]
=-(1/2!+a-b)x^2+[1/4!+b(a+b)]x^4+[-1/6!+b^2(a+b)]x^6+……
为使f(x)为尽可能高阶的无穷小,要求
1/2!+a-b=0
即a=b-1/2
代入1/4!+b(a+b)得
2b^2-b/2+1/24＞0恒成立
因此f(x)=(2b^2-b/2+1/24)x^4+……
是x的四阶无穷小量