已知P是Rt△ABC所在平面外一点，O是斜边ABC的中点

啊，你这题目有错啊，斜边到底是啥？
在下按斜边是AB的情况给你做吧。
点O为AB中点。
取BC中点D，连结PD。
因为PD为等腰三角形BPC的底边BC上的中线，所以PD⊥BC
因为OD为Rt△ABC的中位线，所以OD//AC
因为AC⊥BC，所以OD⊥BC
又因为PD与OD相交与点D，所以BC⊥平面POD
所以BC⊥PO
因为PO为等腰三角形APB的底边AB上的中线，所以PO⊥AB
又因为BC与AB相交于点B
所以PO⊥平面ABC

OA＝OB＝OC,PA＝PB＝PC,OP公共。∴⊿POA≌⊿POB≌⊿POC（SSS）
而⊿APB等腰。OP为中线，必为高∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°
OP⊥AB.OP⊥OC.∴PO⊥平面ABC