设有直线L：y=ax+2，曲线C：3x^2+y^2=1

代入
3x^2+a^2x^2+4ax+4-1=0
(a^2+3)x^2+4ax+3=0
有公共点则方程有解
所以判别式=16a^2-12(a^2+3)>=0
4a^2>=36
a>=3,a<=-3

L与C交于A，B两点
(a^2+3)x^2+4ax+3=0
则方程有两个不同的解
所以a>3,a<-3
x1+x2=-4a/(a^2+3),x1x2=3/(a^2+3)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16a^2/(a^2+3)^2-12/(a2+3)=(4a^2-36)/(a^2+3)^2
(y1-y2)^2=[(ax1+2)-(ax2+2)]^2=a^2(x1-x2)^2=a^2(4a^2-36)/(a^2+3)^2
所以AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(a^2+1)(4a^2-36)/(a^2+3)^2
y1+y2=ax1+2+ax2+2=a(x1+x2)+4=-4a^2(a^2+3)+4=12/(a2+3)
设AB中点是C，则C是以AB为直径的圆
过原点，所以CA=CB=CO
所以AB=2CO，所以AB^2=4CO^2
C是AB中点，所以坐标是(x1+x2)/2,(y1+y2)/2
即[-2a/(a^2+3)，6/(a2+3)]
所以CO^2=[-2a/(a^2+3)]^2+[6/(a2+3)]^2=(4a^2+36)/(a^2+3)^2
代入AB^2=4CO^2
(a^2+1)(4a^2-36)/(a^2+3)^2=4(4a^2+36)/(a^2+3)^2
(a^2+1)(a^2-9)=4a^2+36
a^4-8a^2-9=4a^2+36
a^4-12a^2-45=0
(a^2-15)(a^2+3)=0
所以a^2=15
a=±√15