送分，再送分

Y=AX

X,Y为n*1矩阵 每个元素(均非负)分别设为xi yi

A 为每行每列非负元素和为1 的n级方阵

求证 y1y2y3...yn>=x1x2x3...xn

久未登陆送分，再次感谢无偿灌水的xdjm们！
诚挚感谢答题的高手们！
三楼 证明的是 y1+y2+...yn>=x1+x2+...xn 用的方法对证明这个命题是很巧妙的 但是 现在要证的是乘。。。

四楼 我刚学代数，没有看明白，能不能再详细点？

六楼 MS思路错了。。。

Y=AX

X,Y为n*1矩阵 每个元素(均非负)分别设为x(i), y(i).

A的所有元素均非负的n级方阵，且A的每行每列的元素和都为1。

求证 y(1)y(2)y(3)...y(n) >= x(1)x(2)x(3)...x(n).

证明：
设
A = [a(i,j)]nxn 。

则，
a(i,j) >= 0, x(i) >= 0, y(j) > = 0. i,j = 1,2,...,n

a(i,1) + a(i,2) + ... + a(i,n) = 1,
a(1,j) + a(2,j) + ... + a(n,j) = 1.
i,j = 1,2,...,n.

y(k) = a(k,1)x(1) + a(k,2)x(2) + ... + a(k,n)x(n), k = 1,2,...,n.

若存在某个i, 1 <= i < = n, 使得 x(i) = 0,
则，y(1)y(2)y(3)...y(n) >= 0 = x(1)x(2)...x(n)。
命题显然成立。

若存在某个k,1 <= k <= n,使得 y(k) = 0,
则，因为 a(i,j) >= 0, x(i) >= 0. i,j = 1,2,...,n
因此，
对于所有的j, 1 <= j <= n,都有， a(k,j)x(j) = 0.

又因为 a(k,1) + a(k,2) + ... + a(k,n) = 1.
因此，至少有1个m, 1 <= m <= n，使得 a(k,m)>0.
此时，因为 a(k,m)x(m) = 0,所以，必有，x(m) = 0.
故，总有，
0 = y(1)y(2)...y(k)...y(n) >= x(1)x(2)...x(m)...x(n) = 0.