空间内四条直线两两异面，求证存在第五条直线与这四条直线有交点。

只能用初等几何还是有点麻烦的，而且有些时候欧式空间里面不存在这样的直线，还必须借助于射影几何。我简单写一下我的思路

首先看三条两两异面的直线L1,L2,L3：
(1)过L1上任意一点，有且仅有一条直线和L2,L3同时有交点。
证明：过L1上的点P和L2有1个平面，L3和这个平面有一个交点，连接此交点和P，交L2于Q，那么PQ就是满足条件的唯一直线。

(2)与L1,L2,L3有公共点的直线组成一个直纹面X，则存在一族平行的平面，使得这族平面和直纹面X的交线就是L1,L2,L3和平面交点的连线。
证明：任取两条与L1,L2,L3有公共点的直线L4,L5，这两条直线必异面，取过L4且平行于L5的平面A，过L5且平行于L4的平面B，则A//B且任何和A,B平行的平面和直纹面的交线就是L1,L2,L3和平面交点的连线(利用平行线的性质容易证明三点共线，再由(1)有唯一性)。

这样问题就转化成L4和这个直纹面X是否相交。

(3)在欧氏空间里面，如果L4平行于(2)所述的那族平面，并且X与过L4的那个平面的交线和L4平行，那么这个交点就是无穷远点，换句话说欧氏空间里不存在和L1,L2,L3,L4都相交的直线，满足条件的有且仅有过那个无穷远点的无穷远直线(利用(1)，若存在必唯一)。

(4)若L4和(2)中所述的那族平面不平行，那么和每一个平面都相交。由于直纹面X和这族平面的交线方向各不相同且连续变化，X和平面族的交线在其中一个平面上的投影恰好覆盖整个平面除去一条直线(对应于两端的极限情况)，此时又分几种情况(在一个特定的平面上，X和平面的交线与L4在平面上的投影平行，这个会产生不连续性)，基本想法是考察X与平面的交线与L4的交点，由这点还原到L4上的点P，通过P在平面的“上”方或“下”方来确定是否存在欧式空间中满足条件的直线。具体我就不写了。

如果用空间解析几何，则比较简单，就是这样的直线方程有解。
设直线为l1,l2,l3,l4,
取l1上一点x点，和l2,形成一平面，必然和l3交于一点y，取此直线xy，
同样必然和l4交于一点z，取此直线xz，
则此xy，xz位于同一平面上，连续变