跪求高手帮助：2道数学问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 18:40:59
1.试证：矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0
2.设A、B都是n阶矩阵，试证AB=0，那么r（A）+ r（B）≤n

1.

先证必要性：即左推右
如果矩阵A可逆，我们假设A有特征值0，那么根据求特征值的定义有
Ax = 0*x = 0 ，而且其中x为非0向量，所以这就说明Ax=0有非零解，从而推出A不满秩，从而推出A不可逆，与已知矛盾，所以A的特征值不等于0.

再证充分性：即右推左
如果A的特征值不等于0，那么可以设特征值分别为λ1，λ2，……，λn
根据 |A| = λ1*λ2*……*λn 不等于0,说明A行列式不等于0 ，所以A可逆

所以矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0
证毕

2.

证明：Ax=0 设其解空间为S，那么根据线性方程组的性质，有
秩A + 秩S = n
由已知，AB=0，所以知道B为解空间里的一个一组向量，所以有秩B≤秩S
所以得到
秩B≤n-秩A
所以得到
秩A+秩B≤n
证毕