2008年12月河北省高中会考数学最后一题

已知函数f(x)满足下列条件：
（1）定义域为实数集R,值域（0，正无穷）
（2）对于任意x,y属于R，都有f(xy)=f(y)的x次方；
（3）f(1/4)小于1
(I)求f(0)的值
(II)证明：0小于f(1)小于1
(III)若函数y=f(x)的反函数为y=f逆（x),设0小于a小于b小于1，且a方+b方=2倍f(1)方。 证明：f逆(a)+f逆(b)大于2。

解答：
（Ⅰ）令x=0,y属于R 得 f(0）=f(y)的0次方=1

（Ⅱ）令x属于R，y=1得 f(x)=f(1)的x次方
由题意知 f(1)>0 (若 f(1)=0，则f(x)恒=0，与所给值域不符）
f(1/4))=f(1)的1/4次方<1 所以f(1/4)<1 即0<f(1)<1

（Ⅲ）2倍f(1)方=a方+b方>2ab (因a不等于b,不能取等号）
f(1)平方>ab 取以f(1)为底的对数（因0<f(1)<1，取后要变号）
2<log以f(1)为底ab的对数=log以f(1)为底a的对数+log以f(1)为底b的对数=f逆(a)+f逆(b)
y=f(x)的反函数是y=log以f(1)为底x的对数.