在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之积小于0.5的概率为多少？

设一个数为x,另一个数为y,0<x<1,0<y<1,

xy<1/2

这题用几何概型来做,画个草图,一个长度为1的正方型,和曲线y=1/(2x)在0<x<1的部分,总面积是正方形的面积1,落在xy<1/2和正方形相交的那部分阴影面积比上总面积就是所求概率

令x=1,y=1/2,令y=1,x=1/2,所以曲线和正方形两边的交点为(1/2,1)和(1,1/2)

曲线下方的面积=1-曲线上方面积
曲线上方面积=∫(1/2->1) 1-(1/2x)dx = 1-1/2 -1/2*∫(1/2->1) (1/2x)d2x
=1/2-1/2*(ln1*2 - ln2*1/2)=1/2-1/2*ln2

曲线下方的面积=1-1/2+1/2*ln2=1/2+1/2*ln2

P=(1/2+1/2*ln2)/1=(1+ln2)/2

0

(1+ln2)/2

要点分

1/2 + 积分0.5 到 1 1/2x dx

= 1/2 + 0.1875 = 0.6875

75