高二数学知识点总结

双曲线方程典例分析

江西省永丰中学 刘 忠

一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 （a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，∴双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （k?R，且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为F1、F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与y轴交点 ，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为 ，由点Q在双曲线上可得 ，又 ，
∴ ， ，∴双曲线方程为 .
评 此例用的是直接法.
二、双曲线定义的应用
1、第一定义的应用
例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .
∵∠F1PF2=900，∴ ，
∴ ，
∴ .
2、第二定义的应用
例4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线左支上找到一点P，使 是 P到l的距离d与 的比例中项？
解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ，
∴ ， ，又 ，
即 ，解之，得 ，
∵ ，
∴ ， 矛盾，故点P不存在.
评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径