高分求解：（线性代数）为什么正交变换能保持几何形状的不变性？

设任意的两个点A、B，向量OA、OB，坐标分别是a、b，正交矩阵T。
则a'=Ta,b'=Tb.
可以证明 |a'|=|a|,|b'|=|b|,|AB'|=|AB|，<a,b>=<a',b'>，
就是说变换之后，任意两点与原点的距离，两点的距离，以及他们的夹角都不变。
这个变换是一个以原点不动的旋转变换，几何形状也就不会变了。

正交变换不改变实对称矩阵的正负惯性指数，而正负惯性指数决定了大致的几何形状，比如该是柱面的还是柱面，只不过柱面的参数可能会有所不同。