求证，有人做出来加100分，决不食言。

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/04/30 19:56:21

周长相等的平面图形中原的面积最大

等长的曲线围成面积最大的图形是圆．

(Steiner解法）

1 周长一定的封闭曲线中，如果围成的面积最大，则必为凸图形．

若为该图形凹，可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线，作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线，则可得一个与之等周且面积更大的图形．

2 周长一定的面积最大的封闭曲线中，如果点A、B平分其周长，则弦AB平分其面积．

若AB不平分其面积，则该图形必有在AB某一侧面积较大，如图，不妨设N>M，则去掉M作N的关于AB的对称图形N’，则由N、N’组成的图形周长与原来的相等，但面积更大．

3对于既平分周长与又平分面积的弦AB，只考虑该图形在AB的任一侧的一半，若C为此段弧上任一点，则ACB=90．否则可把此图形划分为三块M、N、P，只须改变ACB的大小，使ACB=90，则M、N的面积不变，而P的面积变大．

这说明，此半段曲线必为半圆，从而另一半也是半圆．

经典解法，顶上：同时补上图。帮助理解下第三条：

这里的改变角ACB的大小，指的是c点不动，改变M，N所在的扇面。

调整的过程中改变的是AB的长短，其他没有变。到<ACB为90度为止。

这是，M，N不变，P的大小为：BC×AC/2，取得了最大的面积。

第一次看到这个做法，在看第三条时卡了1会，主要是改变方法不对，觉得不适用于椭圆。后明白，特此补充。