高一上学期数学期末考试问题

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/27 03:48:01

定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•f(y),且f(0)≠0.证明:(1)f(0)=1
(2)f(x)是偶函数
（在数学考试中这是一道12分的题，请把步骤写得更详细一些）

(1)令x=x y=0 则有f(x)+f(x)=2f(x)f(0) 所以f(0)=1
(2)令x=0 y=x 则有f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x) 所以f(x)=f(-x) 即偶函数
其实这道题的关键之处就是在于要如何凑出f(0) f(x)和f(-x)

1.将x=y=0代入函数，得f(0)+f(0)=2*f(0)^2，所以2f(0)=2*f(0)^2，等式两边约去2f(0)，得f(0)=1。

2.将x=0代入函数，得f(y)+f(-y)=2*f(y)*f(0)，所以f(y)+f(-y)=2*f(y)，移项，得f(-y)=f(y)，所以是偶函数。

1.取X=Y=0可得f(0)+f(0)=2f(0)^2
即f(0)=1(f(0)=0舍去)

2.取X=0可得f(Y)+f(-Y)=2f(Y)f(0)
可得f(-Y)=f(Y)所以函数为偶函数