两道积分题~请大家帮忙看一下XD

1.找出（10^9）！{十的九次方的阶乘} 的位数。不要求准确的说出是几位数，只要给出位数范围就行，希望能看到详细的解答过程~
2.证明,当n趋近于无穷大时，ln（n！）/ln[（n^n）*(e^-n)]的极限是1
第一题找出位数的上界和下限

1.我觉得两道题都差不多
因为lim(n->无穷大）ln(n!)-nln(n)/n
=[ln(1/n)+ln(2/n)+..ln1]/n
=∫(0,1)lnxdx
=lnx*x|(0,1)-∫(0,1)1dx
=-1
因为10^9比较大
所以ln[(10^9)!]-9*10^9ln10=-10^9
ln[(10^9)!]=10^9(9ln10-1)
(10^9)!=e^[10^9(9ln10-1)]
=10^[lge*10^9(9ln10-1)]
因为8.5*10^9<lge*10^9(9ln10-1)<8.6*10^9
所以(10^9)!介于8.5*10^9+1位到8.6*10^9+1位之间
2.ln（n！）/ln[（n^n）*(e^-n)]
=ln(n!)/n(ln(n)-1)
=[ln(n!)-nln(n)]/n(ln(n)-1)+1+1/(ln(n)-1)
=[ln(1/n)+ln(2/n)+..ln1]/n*1/(ln(n)-1)+1+1/(ln(n)-1)
=∑(i=1至n)ln(i/n)*1/n*1/(ln(n)-1)+1+1/(ln(n)-1)
=∫(0,1)lnxdx*1/(ln(n)-1)+1+1/(ln(n)-1)
因为∫(0,1)lnxdx=lnx*x|(0,1)-∫(0,1)1dx=-1
因为(n->无穷大）所以1/(ln(n)-1)->0
所以∫(0,1)lnxdx*1/(ln(n)-1)+1+1/(ln(n)-1)->1
所以lim(n->无穷大）ln（n！）/ln[（n^n）*(e^-n)]=1

1.10^1=10，是两位数；10^2=100是三位数；10^3=1000是四位数；。。。；有规律可知，10^9是十位数。

第二题用stoles公式