UC知道一道还不错的函数题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 08:15:46
已知函数g(x)=x㏒2(x) (0<x<1)
(1)若F(x)=g(x)+g(1-x),求F(x)的最小值
(2)设正数P1,P2,P3.......P2^n满足P1+P2+P3+.......+P2^n=1
求证：g(P1)+g(P2)+g(P3)+......+g(P2^n)≥-n
本人对于这题，没什么简便方法。想寻求下简单方法
㏒2(x)是指以2为底，x的对数 2^n是指2的n次方 ,第2问不要数学归纳法，需要别的方法
(1)若F(x)=g(x)+g(1-x),求F(x)的最小值
(2)设正数P1,P2,P3.......P2^n满足P1+P2+P3+.......+P2^n=1
求证：g(P1)+g(P2)+g(P3)+......+g(P2^n)≥-n
本人对于这题，没什么简便方法。想寻求下简单方法
㏒2(x)是指以2为底，x的对数 2^n是指2的n次方 ,第2问不要数学归纳法，需要别的方法
(1)F(x)=g(x)+g(1-x)
=xlog2(x)+(1-x)log2(1-x)
剩余所有的过程请见 图.
对於g：
g(x1)+g(x2)
=x1㏒2(x1)+x2㏒2(x2)
=㏒2(x1^x1*x2^x2)
>㏒2(x1+x2)^(x1+x2) (因为x1x2都在（0，1）之间)
=(x1+x2)㏒2(x1+x2)
=g(x1+x2)
所以可以考虑合并不等式左边
故左边>0>-n