国安 和 公 安 都在 公安局 办公吗?

有这种情况，但不一定。

“国安”的全称是“国家安全系统”，最高机关是国家安全部、省级机关是国家安全厅（包括直辖市国家安全局，厅局级）、市级机关是国家安全局（处局级）。

安全部是83年成立的，由整个中调部、公安系统反间部门、国防科工委部分单位、统战部部分单位合并组建，你可以简单的认为国安是从公安分出来的。
所以很多地方的国安和公安是在一个地方办公，比如原先重庆市公安局和重庆市国家安全局就在一个院子里。
但这并不是说公安和国安就一定要在一起，分多地方的安全厅早就换了新址，重庆的安全局现在也没有和公安局在一起了。

其他系统同也存在类似情况，比如两劳部门（现在的监狱劳教系统，原来叫“劳改劳教”）是从公安转到司法的，但是据我所知云南省监狱局、劳教局（上级单位是云南省司法厅）的好多警察就住着公安厅的房子。

还有，公安院校现在叫做“警官学院”、监狱院校叫做“司法警官学院”，之前的名称分别是“公安高等专科学校”、“司法警官高等专科学校”，更早的时候公安院校叫做“公安专科学校”、而很多监狱院校叫做“第二公安专科学校”。

所以啊，你问的这个应该算得上“历史问题”了，和隶属关系无关。

地方上的·也有一些同公安在一院内的·不过很少·很多办公点是保秘的·可能在某个小区·可能在某个大厦········

肯定不在一起办公。它们分属不同的部门。
在国务院下分属国安部和公安部，根本就不是一个系统。当然，国安与公安的部分职能有重叠的地方……

国家安全部属于政府机构，政府公务员的招录工作由人事部门负责组织实施，请咨询人力资源和社会保障部。