帮忙纠错

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 10:46:38
一道题:设a>b>c,a+b+c=1,且a,b,c的平方和=1,求a+b及c的取值范围.
我的解法是:c=1-(a+b),代入a2+b2+c2=1，得a2+b2+1-2（a+b）+（a+b）2=1，化简得a2+（b-1）a+b（b-1）=0，一元二次方程有解，所以b2-2b+1-4b2+4b大于等于0,解得b小于等于1大于等于1/3,同理解得a的范围,这样根据c=1-(a+b),求得c的范围。（我的答案是a+b小于2大于-2/3，c小于5/3大于-1）
可答案却不同，不知哪个环节出了问题，最终答案是c小于1大于-1/3，a+b小于4/3大于0
还请高手指教

正确解法如下
由a+b+c=1
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
1+2ab+2bc+2ac=1
ab+bc+ac=0
ab+c(a+b)=0
a+b=1-c代入上式得
ab=c^2-c
a+b=1-c
利用韦达定理可知a,b是方程x^2+(c-1)x+c^2-c=0的两不等实数根
Δ>0
(c-1)^2-4(c^2-c)>0
3c^2-2c-1<0
(3c+1)(c-1)<0
解得-1/3<c<1
若c>0 则a>b>c>0
ab+ac+bc>0与ab+bc+ac=0矛盾 因此c>0
综上所述-1/3<c<0
a+b=1-c
则1<a+b<4/3

你的解法错误是a,b是相互联系的变量
a取最值时b不一定取最值
因此直接相加的结果错误