Jane has begun day off from Jan 21st to Feb 2nd.

没有。

JANE已经开始从1月21日到2月2日休假。

有问题吧。读起来很别扭啊。
如果你想用begin的话，后面应该加to do或者doing，
名词放前面也应该是 sth is begun....
而且 begin 是一个瞬间动词，后面应该接的是 时间点，而不是时间段。
你又说 from Jan 21st to Feb 2nd，这是时间段了。
所以 动词不应该用begin的。
个人认为 说休假，用holiday,vacation都好啊。
句子应该是：
Jane's holiday begins at Jan 21st and ends at Feb 2nd. 或者
Jane's holiday lasts from Jan 21st to Feb 2nd.