双曲线高手来啊

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 02:15:43
双曲线方程是x^2/3-y^2/9=1
设直线L为y=kx+3
与双曲线交于AB两点,O为原点
当k为何值时向量OA垂直OB?

设A(x1,y1)B(x2,y2)
y=kx+3代入x^2/3-y^2/9=1并整理有
(3-k^2)x^2-6kx-18=0
由韦达定理：
x1+x2=6kx/(3-k^2)
x1*x2=-18/(3-k^2)
y1*y2=(kx1+3)(kx2+3)=k^2*x1*x2+3k*(x1+x2)+9=9
因为向量垂直，有OA*OB=0
所以x1x2+y1y2=0,-18/(3-k^2)+9=0
k=1,-1

解：
x^2/3-(kx+3)^2/9=1
解得 ，x1*x2 = - 18/(3-k^2)
同理 ，y1*y2 = (27-9k^2)/(3-k^2)
要让 向量OA垂直OB
即 OA * OB = x1*x2 + y1*y2 = (45 - 9k^2)/(3-k^2)= 0

解得 k = √5 或 -√5