一个想了很久的数学问题。寻求高人。。

本题的关键不是两边平方，而是如何断定该方程只有一个解的充分必要条件。一般人都认为化为一元二次方程后令判别式等于0是该方程有唯一解的充要条件，这没有错，但是这并不一定是原根式方程有唯一解的充要条件。
如果根式方程通过两边平方化为一元二次方程后，有一根是增根，另一根满足原方程，也应当算是有唯一解。例如方程 根号(x+a)=x 化为 x^2-x-a=0, 如果a=2, 就得到两个解 2 和 -1，后一个就是增根；如果a=-1/4, 则判别式等于零，方程有唯一解x=1/2. 所以这样的方程有唯一解的充要条件应当是：化为一元二次方程后判别式等于零或者判别式大于零但有一个实根不满足原方程。
你给的这道题化为 x^2+2(a-1)x+a^2=0,
当判别式等于零时，有a=1/2; 但是它的两个实根 (1-a)+(或-)根号下(1-2a)
会不会有一个是增根？这需要判断：
显然1-2a>=0, 于是 a>=1/2. 此时1-a>0, 因此较大的那个根肯定是正数，不会是增根；较小的那一个也能断定不会是负根——否则
根号下(1-2a)>1-a>0; 于是 1-2a>(1-a)^2; 从而 a^2<0,这不可能。
由此可见，如果a<1/2, 原方程将有两个实根。至此才能断定元方程有唯一解的充要条件确实是化为二次方程后的判别式等于零。

可以平方做啊~只是带根号的式子要求x是大于0的才能保证式子有意义。所以平方后要对x大于等于0的情况下求解，因此用判别式可以解

我不是高人，不过对你的问题有兴趣，试着说说看法：
首先，你的方程是不是打错了？我看应当是 根号(2x)=x+a 吧？
一般说来，解这种根式方程都要两边同时平方的。这种变换属于方程的非同解变形，不过它最多能使解集扩大（俗称增根），而解集扩大可以通过验根发现和排除，所以这种方法成为解根式方程的一般方法。
本题的关键不是两边平方，而是如何断定该方程只有一个解的充分必要条件。一般人都认为化为一元二次方程后令判别式等于0是该方程有唯一解的充要条件，这没有错，但是这并不一定是原根式方程有唯一解的充要条件。
如果根式方