u=x + （1/x） , u + （1/u） 的最小值是多少？

不存在最大最小值.如果x在正实数范围,则有最小值2.5,如果x在负实数范围,则有最大值-2.5,
由u=x+(1/x),得u+(1/u)=(x^2+1)/x+x/(x^2+1).
设f(x)=(x^2+1)/x+x/(x^2+1),
该函数定义在所有非零实数上,现在求f(x)的最小值,求1阶导数
df/dx=(x^2-1)(1/x^2-1/(x^2+1)),令df/dx=0.解得
x^2-1=0,
x=1,x=-1是驻点,当x趋于正无穷,f(x)也趋于正无穷,当x趋于负无穷,f(x)也趋于负无穷故f(x)不存在最大值和最小值,x=1,x=-1均对应的是极值而不是最值,计算该两点的值得
当x=1,f(x)=2.5,
x=-1,f(x)=-2.5
2.5,-2.5均是极值.前者是极小值,后者是极大值.

负无穷
如果X大于0，则为2.5

u=x+(1/x)=(x+1)/x

u+(1/u)=[(x+1)/x]+[x/(x+1)]
={[(x+1)^2/[x*(x+1)]}+{[x^2/[x*(x+1)]}
=(2x^2+2x+1)/[x*(x+1)]
=(2x^2+2x)/[x*(x+1)]+1/[x*(x+1)]
=2+1/[x*(x+1)]

无论x为任何数时,x(x+1)总是大于零的正数,
无论x趋向于正无穷大还是负无穷大,1/[x*(x+1)]总是趋近于0.
也只有1/[x*(x+1)]为0时,u+(1/u)才会最小.
所以u+(1/u)的最小值是2.

补充:看了三楼的提问,我觉得是问不对题,题目求的是u+(u/1)的最小值,而不是值域,而且值域也永远是正数,不可能为负数.

敢问楼上X为多少,MIN=2?

若X属于R,则值域为(-无穷,-2.5]和[2.5,+无穷)