解释下，为什么在A很小时，1-cosA=2(sinA)^2?

你这个式子写错了

lim(x->0)[(1-cosA)/2/(sinA)^2]
=lim(x->0)[2(sin(A/2))^2/2/(sinA)^2]
=lim(x->0)[2*A^2/4/2/A^2]
=1/4

所以当A很小的时候
1-cosA = 2(sinA)^2 * 1/4

1-cosA=2(sin(A/2))^2
这个是半角公式, 不单A很小的时候成立, A很大的时候照样成立
cos2A = 1 - 2(sinA)^2

0=0
左边趋近于0，右边趋近于0

公式，1-cosA=2(sin(A/2))^2
1+cosA=2(cos(A/2))^2 没背过吗？
A在任何情况下都符合

确实如上面那位所说，A很小时应是1-cosA近似等于(1/2)*(sinA)^2，或者说当A趋于零时，两个无穷小 1-cosA 与 (1/2)*(sinA)^2 等价。
比较两个无穷小的阶，通常有两种方法：一个是前面那位介绍的，计算两者之商的极限，意在比较它们趋于零的速度哪一个更快一些；还有一个是间接比较的方法，就是将每个（当 x趋于 a时的）无穷小都用与它等价的、形如 (x-a)^k的无穷小来表示，例如人们常用的（x趋于0时）
sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cos~x^2/2,
ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^(1/n)~1+x/n,
本题中1-cosA~x^2/2, (sinx)^2~x^2, 所以才会有 1-cosA 与
(1/2)*(sinA)^2 等价。