几道数学竞赛题（最好有详细过程）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 20:49:37
1，方程x的3次方+6（x的平方）+5x=y的3次方-y+2的整数解（x，y）的个数是（ ）
A，0 B,1 C,3 D,无穷多
2，解方程：81=a的4次方-36（a的平方）+108a
————————————————谢谢了————————————
3，实数x，y，z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3，则z的最大值是（ ）

1. x^3+6x^2+5x=x(x+1)(x+5)为3的倍数
y^3-y+2=y(y-1)(y+1)+2除以3余2。
所以两边不可能相等，选A

2. 整数解是a=3，非整数解不会求。。。
令f(a)=a^4-36a^2+108a-81，可知f'(a)=4a^3-72a+108=4(a-3)(a^2+3a-9)，有3个根，令其等于0可分别求出f(a)的几个极点。可知f(a)有多个根。若a为整数，左边为3的倍数，右边也应为3的倍数，且左边不是2的倍数，所以右边也不是2的倍数，所以a为3的倍数，且a为奇数。可由分段单调性知a=-3,3为可能的整数解，带入验算可知a=3为解。剩下解不会求。。。

3. z(x+y+z)=5z , 所以zx+zy+z^2-xy-yz-zx=5z-3, 即z^2-5z+3=xy.
而x+y=5-z, 所以xy<=((x+y)/2)^2=((5-z)/2)^2,即z^2-5z+3<=((5-z)/2)^2.
化简有3z^2-10z-13<=0. 从而有zmax=13/3. 当x=y=1/3,z=13/3时可取到。

3、zmax=13/3

I don't know.Sorry!

I'm from USA.