双曲线离心率问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 17:02:39
已知点F1,F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若三角形ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

由于直线AB垂直与x轴，所以AB的横坐标相等，|AF1|=|BF1|,|AF2|=|BF2|
△ABF2是等腰三角形，只要∠AF2B<90°即可，此时∠AF2F1=∠BF2F1<45°
△AF1F2和△BF1F2都是直角三角形，需要有|AF1|<|F1F2|
将x=-c代入双曲线方程得：y²=b^4/a²,所以|AF1|=b²/a
而|F1F2|=2c,所以有b²/a=(c²-a²)/a<2c，不等式两边同除以a得：
e²-1<2e => e²-2e+1<2 => e-1<√2 => e<√2+1
所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,√2+1)