问几个比较难的问题..(数学奥赛!)

1. 不失一般性，设x<=y<=z<=u. 显然w>u. 而w^w = (u^u+z^z+y^y+x^x)<=4* z^z。 注意到当w>=3时， w^w>4*((w-1)^(w-1))>=4* z^z, 例如27 = 3^3 > 4* 2^2 = 16, 256 = 4^4>4*3^3 = 108，因此此时等式不成立。 所以， w<=2.若w=2, 有x=y=z=u=1, 若w=1,这是不可能的。
因此方程只有一组解， (x,y,z,u,w)=(1,1,1,1,2).
2. 被55整除，所以要即被5整除也被11整除。所以各位必须是5. 又因为11整除的判断方法，各位交替加减得出的结果是11的倍数， 例如15125被11整除，则1+5-1+2-5 = 0 是11的倍数。
在4,5,6,7,8中， 只有(4+5+6)-(7+8)是11的倍数。因此可能的数为：
47685,48675,67485,68475.

1、不妨设1≤x≤y≤z≤u<w，u^u<x^x+y^y+z^z+u^u=w^w≤4u^u。假设u≥3，则(u+1)^(u+1)≥4(u+1)^u>4u^u≥w^w>u^u，u<w<u+1，这与w是正整数矛盾，所以u≤2。假设u=2，则有2^2<w^w≤4*2^2=16<27=3^3，2<w<3，矛盾。所以u只可能等于1，这时有x=y=z=u=1，w=2，这就是原方程的唯一一组正整数解了。2、已知一个五位数用4,5,6,7,8五个数码各一次组成,如64875等,在这样的五位数中,设某个能被55整除的数为abcde（字母代表进位制上的数），即 abcde≡0（mod55）；等价于 abcde≡0（mod5），且 abcde≡0（mod11）；等价于e=5，a+c+5-b-d≡0（mod11）。因为 a+b+c+d+5=4+5+6+7+8=30，b+d=25-a-c，所以 a+c+5-b-d＝2(a+c)-20≡0（mod11），即2(a+c)≡9（mod11），而8<a+c<16，16<2(a+c)<32，且2(a+c)是偶数，则 2(a+c)=20，a+c=1