函数极限和它绝对值极限的关系

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 10:53:56
总是看到这样的说法，lim|f（x）|的极限不等于0，所以limf(x)的极限也不会等于零。比如在推导幂级数的收敛半径的过程中，对于第一种情况，在证明中有这样的说法：一般项|AnX^n|不能趋向于零，所以AnX^n也不能趋向于零。
想想这样的说法是对的，但证明起来，我不知道话该怎么说，希望高人给与严格证明！另外是不是这种判断方法只对趋于零的情况正确？再有是否可以得出若|f(x)|趋于零，那么f(x)也趋于零的结论？若|f(x)|趋于其它数值呢？谢谢你们！

如果lim f(x)=0，根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<f(x)<0+e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,|f(x)|<e,即0-e<|f(x)|<0+e,由定义，lim |f(x)|=0. 因此，limf(x)=0 ==> lim|f(x)|=0, 逆反命题为lim|f(x)|不等于0，则limf(x)不等于0，原命题获证。
反过来，如果lim |f(x)|=0，则根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<|f(x)|<0+e，即|f(x)|<e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,-e<f(x)<e.因此limf(x)=0.所以，limf(x)=0是lim|f(x)|=0的充要条件。
如果是其他数值则不一定。比如lim|f(x)|=3,则limf(x)可能是3或-3,甚至可能不存在（比如数列-3,3,-3,3,-3,3,....)