求教一道不知从何下手的导数比较题

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/16 04:29:40
题目是这样的:f(x)二阶可导,f(x)=-f(-x),f(x)=f(x+1),f′(1)>0,试比较
f(-5),f′(-5),f′′(-5)的大小

前面回答同一楼:
由『f(x)=-f(-x)』知,f为奇函数,f(0)=0
由『f(x)=f(x+1)』知,f以1为周期函数,且x为整数时,f(x)=0
又『f(x)二阶可导』知,f,f'是连续的
由『f'(1)>0』知,在x为整数时,f'(x)>0
所以有f(-5)=0,f'(-5)>0
f'(-5)>f(-5)

下面说明f"(-5)=0
由条件知道:f'(x)=f'(-x),f'(x)=f'(x+1)
因此f"(-5)
=lim(x->0)[f'(-5+x)-f'(-5-x)]/(2x)
=lim(x->0)[f'(x)-f'(-x)]/(2x)
=0

结论:f(-5)=f"(-5)<f'(-5)

由『f(x)=-f(-x)』知,f为奇函数,f(0)=0
由『f(x)=f(x+1)』知,f以1为周期函数,且x为整数时,f(x)=0
又『f(x)二阶可导』知,f,f'是连续的
由『f'(1)>0』知,在x为整数时,f'(x)>0
所以有f(-5)=0,f'(-5)>0
f'(-5)>f(5)
至於f''(-5)似乎不能确定,因为f的凹凸性可以有很大变化