UC知道卡诺重心定理以及莱布尼兹公式
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 20:42:58
这是学而思初二数学寒假竞赛班的一道题，请各位大仙帮帮忙！
卡诺重心定理：G为三角形ABC的重心，P为三角形ABC所在平面上任意一点。求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^
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不好意思，刚才望了连接PG了。请问，如果用三角函数能否证明？
卡诺重心定理：G为三角形ABC的重心，P为三角形ABC所在平面上任意一点。求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2=1/3(a^2+b^2+c^2)+3PG^
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不好意思，刚才望了连接PG了。请问，如果用三角函数能否证明？
GA^2 + PG^2 = PA^2 + 2GA*PGcos(AGP)
GB^2 + PG^2 = PB^2 + 2GB*PGcos(BGP)
GC^2 + PG^2 = PC^2 + 2GC*PGcos(CGP)
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
延长射线AG,交BC于D,继续延长，使得GD = DE = AG/2.
连接EB,EC,
四边形GBEC为平行四边形。
EB = GC
延长射线PG,
过点B作PG的延长线的垂线，垂足为F.
过点E作PG的延长线的垂线，垂足为H.
BE与PG的延长线的交点为点Q.
则，因GC//BE,角CGP = 角EQG = 角BQF
GH = GE*cos(EGH) = GA*cos(AGP)
HF = EB*cos(BQF) = GC*cos(EQG) = GC*cos(CGP)
而
GH + HF = GF = GB*cos(BGF) = GB*cos(PI-BGP) = -GB*cos(BGP),
因此，
GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP) = 0，
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3PG^2
= PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2PG[GA*cos(AGP) + GB*cos(BGP) + GC*cos(CGP)]
= PA^2 + PB^2 + PC^2
利用上面的结论，
令P与A重合，有
GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3GA^2
= AB^2 + AC^2 ...(1)
令P与B重合，有
GA^2 + GB^2 +