一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P, ... ...

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 02:29:35
一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点标上质数P； 第二次将两个半圆的每一个分成两个相等的1/4圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的1/2; 第三次将四个1/4 圆周的每一个分成两个相等的1/8 圆周，在新产生的分点标上其相邻两数和的 1/3； 第四次将八个 1/8 的圆周的每一个分成两个相等的1/16 圆周， 在新产生的分点标上其相邻两数和的1/4; … … 如此进行了n 次，最后， 圆周上的所有数字之后为 17170。 求 n 和 P 的值各是多少？

本题不必想得太复杂，即第n次分圆增加了第(n-1)次分圆后所有数字之和的2/n倍(因为是相邻两数之和，所以每个数计算了2次)
设第N次后数字的总和为X(n)，第(N-1)次的总和为X(n-1)，可得如下的递推关系式：
X(n)=X(n-1)+2X(n-1)/n ,
X(n)=X(n-1)×(n+2)/n
其中X(1)=2p，写出各项连乘代入X(n)有：
X(n)=[(n+2)/n]×[(n+1)/(n-1)]×.....(4/2)×2p,
可以约分为：X(n)=p(n+2)(n+1)/3;
因为，和为17170，可写成：
X(n)=p(n+2)(n+1)=17170×3=51510=2×3×5×17×101
因为(n+2)、(n+1)为连续自然数，所以n+1=101，n+2=102，即n=100，解得p=5.