有关圆的高中数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 01:12:16
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线L的方程，如不存在，说明理由。（详解过程）

(x-1)^2+(y+2)^2=9

L，y=x+b
代入x^2+y^2-2x+4y-4=0
x^2+x^2+2bx+b^2-2x+4x+4b-4=0
2x^2+(2b+2)x+(b^2+4b-4)=0
x1+x2=-(b+1)
x1x2=(b^2+4b-4)/2

(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=-b^2-6b+9
y=x+b
(y1-y2)^2=[(x1+b)-(x2+b)]^2=(x1-x2)^2
所以AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(-b^2-6b+9)
所以半径平方=AB^2/4=(-b^2-6b+9)/2

x1+x2=-(b+1)
y=x+b
y1+y2=x1+b+x2+b=-(b+1)+2b=b-1
所以AB中点即圆心[-(b+1)/2,(b-1)/2]
他和原点距离就是半径
则半径平方=[-(b+1)/2]^2+[(b-1)/2]^2=(b^2+1)/2

所以(-b^2-6b+9)/2=(b^2+1)/2
b^2+3b-4=0
(b+4)(b-1)=0
b=-4,b=1

所以存在
y=x-4,y=x+1