【求助】高中数学 三角 小题两道

1、∵(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 < 2
∴3-[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2]<2
即(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2>1
即(cosA)^2+(cosB)^2>(sinC)^2 =(sin(A+B))^2
而(sin(A+B))^2
=(sinA)^2*(cosB)^2+(cosA)^2*(sinB)^2+2sinA*cosA*sinB*cosB
即(cosA)^2+(cosB)^2>(sinA)^2*(cosB)^2+(cosA)^2*(sinB)^2+2sinA*cosA*sinB*cosB
整理，得：
(cosA)^2*(1-(sinB)^2)+(cosB)^2*(1-(sinA)^2)-2sinA*cosA*sinB*cosB>0
即cosA*cosB*(cosA*cosB-sinA*sinB)>0
即cosA*cosB*cos(A+B)>0
①若三角形为锐角三角形，则C<90度，A+B>90度，所以cosA*cosB*cos(A+B)<0。矛盾
②若三角形为直角三角形，易得cosA*cosB*cos(A+B)=-cosA*cosB*cosC=0，矛盾
所以三角形是钝角三角形。

2、cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1
由余弦函数的定义域，可得|cos(A-B)|=1；|cos(B-C)|=1；|cos(C-A)|=1。
①若其中有负值，则比有两个等于-1.（因为三者的乘积为正）
不妨设为cos(A-B)=-1；cos(B-C)=-1。
则A-B=180度，不可能。
②所以cos(A-B)=1；cos(B-C)=1；cos(C-A)=1
∴A=B=C
所以三角形为正三角形