数学2次根式的应用哇~

如图，一块长方形场地ABCD的长与宽之比为根号2：1，DE垂直AC于E，BF垂直AC于F，连结BE,DF，现在计划在四边形DEBF区域上种植花草，求四边形DEBF与长方形ABCE的面积之比耶》？

方法一：假设AB=DC根号2,AD=BC=1,根据沟股定理AC=根号3
AC:AB:AD=根号3:根号2:1
BF⊥AC,所以BC:BF=根号3:根号2,BC:FC=根号3:1
AB:BF=根号2*BC:BF=根号3:1
AC:FC=根号3*BC:FC=根号3*根号3:1=3:1
同理可证AC:AE=3:1
那么AE:EF:FC=1:1:1
长方形ABCD面积=AB*BC
菱形BEDF面积=BF*EF
AB*BC:BF*EF=根号3*根号3:1=3:1
长方形ABCD面积:菱形BEDF面积=3:1

方法二：
AC=√(AD^2+AB^2)=√3
△ADE~△ACD
AE/AD=AD/AC
AE=AD^2/AC=1/√3=√3/3
DE=√(AD^2-AE^2)=√6/3
同样求得:CF=√3/3
所以,EF=AC-(AE+CF)=√3/3
所以,四边形DEBF面积
=S△DEF+S△BEF
=2S△DEF
=2*1/2*DE*EF
=√6/3*√3/3
=√2/3

所以,四边形DEBF与长方形ABCD的面积之比
=√2/3:1*√2
=√2/3:√2
=1/3:1
=1:3

呵呵，5分之3。看一半，由三角形相似，面积比即为底边之比。

显然四个白色的三角形面积相等
以三角形ADE为例
三角形ADE∽三角形ACD
相似比=AD/AC=1/√3 面积比=1/3
又长方形ABCD的面积是三角形ACD的两倍
所以四边形DEBF与长方形ABCD的面积之比=1-(1/3)(4/2)=1/3

设宽为k，则长为√2k,对角线AC=√3k,AD^2=AE*AC,AE=k/√3,同理,CF=k/√3
EF=AC-CF-AE=k/√3,AC*DE=AD*DC,DE=√2k/√3,面积DEBF=EF*DE=√2k^2/3