已知椭圆 上一点P（1， ）， 一斜率为 的直线与此椭圆交于A，B两点，求三角形PAB的面积的最大值？

设直线y=根2x+b,A(x1,y1),B(x2,y2)
h=(2+b-根2)/根3=b的绝对值/根3
直线带入椭圆，4x^2+2根2bx+b^2-4=0
x1+x2=-(根2/2)b x1x2=(b^2-4)/2
a=根（1+2）*根[(x1+x2)^2-4x1x2]
S=0.5ah=0.5根(8b^2-1.5b^4)
当且仅当b^2=8/3时，S有最大，最大为2根6/3(三分之二倍根号六）

已知椭圆 上一点P（1， ）， 一斜率为 的直线与此椭圆交于A，B两点，求三角形PAB的面积的最大值？
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已知椭圆 x^2/2+y^2/4=1 上一点P（1，根2 ）， 一斜率为 K=根2 的直线与此椭圆交于A，B两点，求三角形PAB的面积的最大值？

说明:x^2: x的2次方 根2: 2的平方根
提问者： dmslv - 高级经理 七级
回答：
我修改成如下内容
已知椭圆 x^2/b^2+y^2/a^2=1 上一点P（x0，y0 ）， 一斜率为 K 的直线与此椭圆交于A，B两点，求三角形PAB的面积的最大值？

说明:x^2: x的2次方 根2: 2的平方根
回答：
设直线方程为y=kx+b
显然d=|kx0-y0+b|/√1+k^2
联立方程组有
（k^2b^2+a^2）x^2+2kb^3x+(b^2-a^2)b^2=0
所以
SΔABP=0.5|AB|d=0.5d√Δ/|a|
=ab|kx0+b-y0|*√1/[k^2b^2+a^2+b^2+(b^4/(a^2-b^2+b^2k^2))]
=0.5√3|√2x0+√2-y0|
考虑到
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2（柯西不等式易证）
8=8*1=（4+4）*1=[2^2+(-2)^2][(x/√2)^2+(y/2)^2]≥(√2x-y)^2
所以√2x-y∈[-2√2，+2√2]
所以√2x-y+√2∈[-√2，+3