初等几何和解析几何到底有什么区别

二者的区别主要体现在研究方法的不同上，初等几何和解析几何的研究对象都是一些几何量的大小和位置关系，例如线段长度，夹角大小等，初等几何借助于朴素的方法来讨论问题，即在少数公理的基础上，通过逻辑推理得出很多关于图形的性质（定理），根据这些性质进行计算。然而这种讨论问题的方法具有很高的技巧性，对于复杂的问题往往束手无策。数学家笛卡尔引入（直角）坐标系概念后，每一曲线都对于一代数方程，使得可以用代数的方法来解决几何问题，这就是解析几何的研究方法。此外，解析几何的另一特点是用向量法讨论问题，坐标法和向量法的使用，可以使某些初等几何中困难的问题很容易解决。因此初等几何和解析几何的关系不像平面几何和立体几何那样的，后者是研究的几何对象不同，而前者只是研究方法不同。多说一点，微积分发明后，某些用解析几何也不容易解决的问题（例如求曲线的切线），使用微积分的方法后变得不易，因此称为微分几何。

初等几何主要是用几何的方法来解决问题，主要注重图形；解析几何使用代数的观点来考虑。前者所凭借的一般是图形，以及图形中所产生产生的公理，定理等；而解析几何则将几何问题代数化，主要凭借坐标系将复杂的几何问题转化为单一代数问题。相对来讲，解析几何在今后用到的会多一些。（比如说向量，在高三立体几何，大学多门课程中都会用到。
初等几何极值问题主要有：三角不等式(AB+BC>AC,AB-BC<AC),这个用到的时候会很多，对称转化，线段最短，垂线段最短等也常会用到（主要高中）。现给一个例子：A,B两个村庄，在河岸边建一个水厂，使水厂到两村庄距离最短。（考虑村庄在河的同一侧，还是异侧，用对称来做。
解析几何的极值问题比较复杂，比如圆锥曲线，圆，直线，涉及方面很广泛。比如说圆与直线的交点问题：知道圆的方程，直线的斜率，问你该直线与圆什么时候有1，2，3，4交点?椭圆，双曲线，抛物线等也会涉及很多极值问题。你自己再去找一下吧

初等几何主要是二维和三维的欧几里德几何。
或许包括还三角学之类。

射影几何、解析几何的发展虽然也比较早，但一般被看作高等几何。当然也有混淆之处，因为现在中小学中学到的解析几何被认为是初等的，所学的内容主要是古希腊平面、直线和圆锥曲线的经典内容；但历史上解析几何是伴随着变量和微积分工具产生的，因而并