求三角形中一点到三顶点距离和的最值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 15:57:22
三角形ABC三边分别为6，8，10。求三角形中的一点P到三个顶点距离和的最值，并求出取得最值时此P的位置。
[注：请尽量使用高中方法，也可使用更高等的数学方法]
谢谢大家的回答！如果能提供最大值的证明就更完美了！

这是关于费马点的知识，费马点有详细的研究。
此题为费马点在三角形内的情况，
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
在此题中费马点P对三边的张角皆为120度
不妨设三角形ABC,AB=6,BC=8,AC=10
PA=X,PB=Y,PC=Z
分别在三角形ABP,APC,BPC中用余弦定理
可得X^2+Y^2+XY=36。。。。1
Y^2+Z^2+YZ=100。。。。2
X^2+Z^2+XZ=64。。。。3
接着用S=1/2×absinC 公式依次计算三角形ABP,APC,BPC的面积,再用大三角形ABC的面积由3部分和
可得XY+YZ+XZ=32根号3。。。。4
1式+2式+3式+3×4式 可得（x+y+z）^2=200+96根号3
所以X+Y+Z=根号下（200+96根号3）
P点位置已在上叙述过
以下是关于费马点的相关知识
http://baike.baidu.com/view/184329.html?wtp=tt

找出费马点,即就是一点与各顶点连线的夹角是120度

最小值点为费马点（本题即与各边张角都是120度的点），最小值为 2√(25+12√3) ；最大值点为最小边所对的顶点，最大值 18 。