开普勒第一定律的证明

开普勒第一定律的证明
设太阳与行星质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。如图行星位置矢量 是垂直单位矢量。
行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r°
首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)
力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。
d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。
积分，得r×v=h(常矢量)
上式表明，行星径矢 r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。
为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向
，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面

极坐标中，行星运动有关物理量如下：
径行r=r·r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)·r°+r·(dα/dt)·α°
r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。
dr/dt是径向速度分量， r·(dα/dt)是横向速度分量
速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r·(dα/dt))²
动量mv=m(dr/dt)+m( r·(dα/dt))
角动量L=r×mv=m•r²(dα/dt)•(r°×α°)
得L=m•r ²•(dα/dt)
行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量
太阳行星系统的机界能守恒，设系统总能量为E，则
E=½mv²-GMm/r
因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式
(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r
上边两式同乘m²/ L²，得
dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L&su