UC知道连续曲线的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 06:45:33
看书上说，对于由参量方程x=x(t);y=y(t)表示的平面曲线，若x=x(t);y=y(t)是t的连续函数，则由它们给定的曲线就称为连续曲线。
为啥？我开始想：因为x=x(t);y=y(t)都是t的连续函数，所以当t连续变动时，相应的x、y也都连续变动，那么在平面直角坐标系上看显然整条曲线是连续的，我觉得这样想不严谨。
后来我想，若是x和y能有点关系，也就是说，比如y是x的函数，这样若是能证明x和y组成的函数连续也就说明问题了，但是确定y是x的单值函数或者x是y的单值函数的条件不够~~
然后我就不会了，你们谁帮帮忙呗，谢谢啦~！
我又想了一下，若我将直角坐标系转化成极坐标的形式，然后证明曲线上的点的模和幅角都是连续变化的，这样是否可行？麻烦详细指教~！
另外楼下说的那种通过反函数转化的办法，若只用【x=x(t);y=y(t)是t的连续函数】这个条件，对于转化成y是x的单值函数或者x是y的单值函数的条件不够。若是在多值函数的环境下讨论，我不知道该怎么办了，还请多多的说！
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就如大家伙说的，若是多值函数，我该怎么考虑，是不是这样：若x=x(t)的反函数是双值函数，则在两支中分别考虑么？
为啥？我开始想：因为x=x(t);y=y(t)都是t的连续函数，所以当t连续变动时，相应的x、y也都连续变动，那么在平面直角坐标系上看显然整条曲线是连续的，我觉得这样想不严谨。
后来我想，若是x和y能有点关系，也就是说，比如y是x的函数，这样若是能证明x和y组成的函数连续也就说明问题了，但是确定y是x的单值函数或者x是y的单值函数的条件不够~~
然后我就不会了，你们谁帮帮忙呗，谢谢啦~！
我又想了一下，若我将直角坐标系转化成极坐标的形式，然后证明曲线上的点的模和幅角都是连续变化的，这样是否可行？麻烦详细指教~！
另外楼下说的那种通过反函数转化的办法，若只用【x=x(t);y=y(t)是t的连续函数】这个条件，对于转化成y是x的单值函数或者x是y的单值函数的条件不够。若是在多值函数的环境下讨论，我不知道该怎么办了，还请多多的说！
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就如大家伙说的，若是多值函数，我该怎么考虑，是不是这样：若x=x(t)的反函数是双值函数，则在两支中分别考虑么？
其实，1楼的证法是正确的。
LZ思维局限了，连续曲线不一定要单值函数啊。不要简单问题复杂化！
设x=f(t),y=g(t)确定了一个曲线方程，则有t=f-1(x),所以该曲线为y=g(f-1(x)),把y看成关于x的复合函数，因为x=f(t)连续，根据反函数的连续性t=f-1(x)也连续，又根据复合函数连续性知y=g(f-1(x))也连续。
从而命题是成立的。
因为x关于t连续，所以当xn->x0时，存在数列 tn->t0，满足x(tn)=xn,x(t0)=x0(这个结论可以用反证说明)。而y关于t连续，因此又有y(tn)=yn->yo=y(t0)，所以曲线上的点(xn,yn)->(x0,y0)，因此曲线连续。
事实上曲线对应的函数是F(x,y)=0，在一个一般的点周围等价于y=f(x)，但有时并不能在整个平面上转化成y(x)或x(y)的形式。
因为x关于t连续，所以当xn->x0时，存在数列 tn->t0，满足x(tn)=xn,x(t0)=x0(这个结论可以用反证说明)。而y关于t连续，因此又有y(tn)=yn->yo=y(t0)，所以曲线上的点(xn,yn)->(x0,y0)，因此曲线连续。
x负（x）=t=y负（y）
y=y（x负（x））
在证明连续就可以了