UC知道在线等，一个求导做的题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 14:49:10
设函数f(x)是定义在[-1,0)并(0,1]上的奇函数，当x在[-1,0)时，f(x)=2ax+1/(x^2),a为实数
1:当a在（0,1]时，求函数f(x)的解析式
2：若a>-1,试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明
3：是否存在a，使得当a在(0,1]时,f(x)有最大值-6？
要有过程，谢谢！
等下，改个题问
请问知道了an为等差，an=2n-1 ，b1=2,b(n+1)=bn+2^[a(n+1)]，求bn
1:当a在（0,1]时，求函数f(x)的解析式
2：若a>-1,试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明
3：是否存在a，使得当a在(0,1]时,f(x)有最大值-6？
要有过程，谢谢！
等下，改个题问
请问知道了an为等差，an=2n-1 ，b1=2,b(n+1)=bn+2^[a(n+1)]，求bn
1、因为f(x)是奇函数，f(x) = -f(-x)
当x∈(0,1]时，-x∈[-1,0)
f(-x) = 2a(-x)+1/(-x)^2 = -2ax+1/x^2
f(x) = -f(-x) = 2ax-1/x^2，当x∈(0,1]
2、当x∈(0,1]时，f'(x) = (2ax-1/x^2)' = 2a+2/x^3 = 2(a+1/x^3)
f'(x)=0，x_m=(-1/a)^(1/3)
若a>0，在x>0范围内f'(x)恒>0，f(x)在x∈(0,1]内单调递增；
若a∈(-1,0)，则x_m>1，在x∈(0,x_m)内f'(x)>0，f(x)在x∈(0,1]内单调递增。
3、若a<-1，则x_m<1，在x∈(0,1]内存在最大值f(x_m)=x_m*(2a-1/x_m^3)
=(-1/a)^(1/3)*(2a+a)=3a*(-1/a)^(1/3)=-6
则a=-8^(1/2)=-2sqrt(2)，x_m=(1/2)^(1/2)=sqrt(2)/2
补充：
a(1) = 1，a(n) = 2n-1
b(1) = 2 = 2^a(1)
b(n) = b(n-1)+2^a(n) = b(n-2)+2^a(n-1)+2^a(n)= ...
= b(1) + 2^a(2) + 2^a(3) + ... + 2^a(n)
= 2 + sum(i=2~n){2^a(i)} = sum(i=1~n){2^a(i)}
= sum(i=1~n){2^(2n-1)} = sum(i=1~n){4^n/2}
= 1/2 * sum(i=1~n){4^n} = 1/2*4*(4^n-1)/(4-1)
= 2/3*(4^n-1)