函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1).f(x2),求证f(x)为偶函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 21:52:33
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取-X和X作x1,x2
得f(X-X)+F(X+X)=2F(X).F(-X)
-->F(0)+F(2X)=2F(X).F(-X) （1）
再把x1,x2调换一下
得F(-2X)+F(-X+X)=2F(X).F(-X)
-->F(-2X)+F(0)=2F(X).F(-X) （2）
由（1）（2）得F(-2X)=F(2X)
所以f(x)为偶函数

令x1=0,x2=0，便可以得到2f(0)=2f(0)^2，因此f(0)=0或者1。
重新令x1=0，便可以得到f(x2)+f(-x2)=2f(0)f(x2)，将f(0)=0或者1代入，则可以得到f(x2)=0，或者f(x2)+f(-x2)=2f(x2)，证明完毕。